Part IV: Probability
第十七章：事件與機率空間
機率論是研究隨機現象的數學分支。本章將介紹如何定義機率空間，並探討幾個違反直覺的經典問題。
17.1 讓我們做個交易
蒙提霍爾問題是機率論中最著名的悖論之一：
你面前有三扇門。其中一扇門後是汽車（大獎），另外兩扇門後是山羊。
1. 你選擇一扇門（例如 1 號門）。
2. 主持人（知道門後是什麼）打開了剩下兩扇門中的一扇，露出山羊。
3. 現在，你有一次機會選擇：堅持原來的選擇，還是換到另一扇未開啟的門？
1. 你選擇一扇門（例如 1 號門）。
2. 主持人（知道門後是什麼）打開了剩下兩扇門中的一扇，露出山羊。
3. 現在，你有一次機會選擇：堅持原來的選擇，還是換到另一扇未開啟的門？
🧪 互動模擬器
試著玩 10 次，分別採用「總是換門」和「總是不換」策略，看看勝率如何。
1
🚗
點擊選擇
2
🐐
點擊選擇
3
🐐
點擊選擇
換門獲勝次數: 0
總換門次數: 0
勝率: 0%
總換門次數: 0
勝率: 0%
不換獲勝次數: 0
總不換次數: 0
勝率: 0%
總不換次數: 0
勝率: 0%
17.2 四步法
為了精確計算機率，我們使用四步法：
- 定義樣本空間： 所有可能結果的集合。
- 定義事件空間： 我們感興趣的結果子集。
- 定義機率函數： 通常假設每個結果機率均等。
- 計算機率： $P(E) = \frac{|E|}{|S|}$。
17.5 集合論與機率
機率公理：
1. 對於所有事件 $A$，$P(A) \ge 0$。
2. $P(S) = 1$。
3. 若 $A$ 和 $B$ 互斥，則 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。
1. 對於所有事件 $A$，$P(A) \ge 0$。
2. $P(S) = 1$。
3. 若 $A$ 和 $B$ 互斥，則 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。
17.4 生日悖論
在一個房間裡，需要多少人，才能使「至少有兩人同一天生日」的機率超過 50%？
直覺告訴我們可能需要很多人（365/2 ≈ 183人），但數學結果令人震驚：
0%
100%
50%
💡 提示：只需要 23 人，機率就超過 50%！這是因為我們考慮的是「任意兩人」的配對組合。
🧪 互動：生日問題完整機率曲線
拖動滑桿，即時看到 n 個人房間中「至少 2 人同生日」的機率，以及在曲線圖上的位置。
23
每格對應 n = 1 到 70 的機率。橘色格 = 目前選擇。
教材來源：Mathematics for Computer Science (Lehman, Leighton, Meyer)