第一章：什麼是證明？— 動畫敘事
開場
怎麼說服別人？
法庭上，律師用證據說服陪審團。
科學家用實驗說服同行。
數學家用什麼？——證明。
一旦證明了，永遠成立，沒有例外。
科學家用實驗說服同行。
數學家用什麼？——證明。
一旦證明了，永遠成立，沒有例外。
三種主要證明方法
數學家有三把刀，解決不同類型的問題。
直接證明
從已知條件出發，一步步推導到結論。路徑是：假設 → 推理 → 結論。
反證法
先假設結論是錯的，推出矛盾，矛盾說明假設錯，所以結論是對的。
逆否命題
「若 P 則 Q」≡「若 非Q 則 非P」。逆著說有時更容易證。
古希臘的震撼
√2
西元前五世紀，畢達哥拉斯學派相信「萬物皆整數」。
直到有人問：邊長 1 的正方形，對角線多長？
答案是 √2——它不是整數，也不是任何分數。
這個發現動搖了整個數學世界。
直到有人問：邊長 1 的正方形，對角線多長？
答案是 √2——它不是整數，也不是任何分數。
這個發現動搖了整個數學世界。
反證法 — √2 是無理數
假設 √2 是有理數，看看會發生什麼。
1
假設
√2 = n/d，n、d 為整數且互質（已約分到最簡）。2
兩邊平方：
n² = 2d²。n² 是偶數 → n 也是偶數。3
設
n = 2k，代入得 d² = 2k²，d 也是偶數。!
n 和 d 都是偶數——但一開始說它們互質！
矛盾！假設錯誤。
✓
∴ √2 不是有理數，它是無理數。
這個證明兩千五百年後依然完美。
這個證明兩千五百年後依然完美。
逆否命題 — 換個方向說
定理：「若 r 是無理數，則 √r 也是無理數。」
直接證明不易，但逆否命題很簡單。
直接證明不易，但逆否命題很簡單。
原
原命題：若 r 是無理數，則 √r 是無理數。
（直接證明困難）
（直接證明困難）
逆
逆否命題：若 √r 是有理數，則 r 是有理數。
（等價命題，這個很好證！）
（等價命題，這個很好證！）
✓
若
√r = m/n，兩邊平方 r = m²/n²，r 是有理數。逆否命題成立，原命題也成立。觀念測驗
反證法和逆否命題，本質上最大的差異是什麼？
小結
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完整第一章
進行互動練習（Modus Ponens 機器、真值表等）。
教材來源：Mathematics for Computer Science (Lehman, Leighton, Meyer)