第三章：邏輯公式 — 動畫敘事
第四集 · Ch.3 邏輯公式
命題的代數
數字有加減乘除，命題也有自己的運算。
「且」、「或」、「非」——這三個字，
是電腦邏輯電路、程式判斷式、
甚至搜尋引擎的數學基礎。
「且」、「或」、「非」——這三個字，
是電腦邏輯電路、程式判斷式、
甚至搜尋引擎的數學基礎。
六個邏輯連接詞
把兩個命題 P、Q 組合起來，有六種主要方式。
¬P
非（NOT）
P 的反面。P 真則 ¬P 假。
P∧Q
且（AND）
P 和 Q 都真，才真。
P∨Q
或（OR）
P 或 Q 任一真，即真。
P→Q
蘊含（IMPLIES）
P 真 Q 假時才為假，其餘皆真。
P↔Q
若且唯若（IFF）
P 和 Q 真假相同時才真。
P⊕Q
互斥或（XOR）
P 和 Q 真假不同時才真。
真值表 — P → Q 最容易搞混
「若 P 則 Q」什麼時候為假？
只有 P 為真、Q 為假這一種情況。
只有 P 為真、Q 為假這一種情況。
| P | Q | P → Q | 說明 |
|---|---|---|---|
| T | T | T | 承諾了，也做到了 |
| T | F | F | 承諾了，但沒做到 ✗ |
| F | T | T | 沒承諾，不算違反 |
| F | F | T | 沒承諾，不算違反 |
記憶口訣：「若你下雨，我就帶傘。」
沒下雨時不管我帶不帶傘，你的承諾都沒被違反。
沒下雨時不管我帶不帶傘，你的承諾都沒被違反。
互動：即時真值表
切換 P、Q 的值，所有連接詞結果即時更新
德摩根定律 — 最重要的等價
否定「且」和「或」時，符號會翻轉。這個規律叫德摩根定律，程式設計師每天都在用。
¬(P ∧ Q)
≡
¬P ∨ ¬Q
¬(P ∨ Q)
≡
¬P ∧ ¬Q
程式範例：
if !(A && B)
等於
if !A || !B
驗證：以下兩列值在任意 P、Q 下都相同
SAT — 可滿足性問題
給定一個邏輯公式，能否找到一組 P、Q、R 的值讓它為真？
這就是 SAT 問題，是電腦科學最重要的問題之一。
這就是 SAT 問題，是電腦科學最重要的問題之一。
(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ R) ∧ (¬Q ∨ ¬R)
結果：假 (F) — 繼續嘗試
試著找出讓公式為真的組合。
SAT 問題在現實中用於 AI 推理、晶片驗證、密碼學。
SAT 問題在現實中用於 AI 推理、晶片驗證、密碼學。
小結
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完整第三章
進行互動練習（真值表切換、SAT 演示）。
教材來源：Mathematics for Computer Science (Lehman, Leighton, Meyer)