第十八章：條件機率
條件機率描述在已知某事件發生的情況下，另一事件發生的機率。它是推論和機器學習的基礎。
18.2 定義與符號
條件機率定義：
給定事件 B 發生的情況下，事件 A 發生的機率定義為：
$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
給定事件 B 發生的情況下，事件 A 發生的機率定義為：
$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
這可以理解為：我們將樣本空間縮小到 B，然後看 A 在 B 中佔有的比例。
🧪 互動：醫療診斷模擬器
這是貝葉斯定理最經典的應用場景。假設有一種罕見病和一個檢測方法。請調整參數，觀察「檢測呈陽性時，真正患病」的機率。
人口樣本視覺化 (100人)
黑框代表檢測結果為「陽性」。我們要計算：黑框中紅色方塊的比例。
P(患病 | 陽性) = ? %
患病
健康
檢測陽性
💡 觀察： 即使靈敏度很高，如果疾病很罕見（盛行率低），檢測呈陽性時真正得病的機率可能比你想像的低很多！這就是為什麼罕見病篩檢需要非常高的特異度。
貝葉斯定理公式
$P(Disease | Positive) = \frac{P(Positive | Disease)P(Disease)}{P(Positive)}$
分母 $P(Positive)$ 是所有檢測為陽性的總機率，包含「真陽性」和「偽陽性」：
$P(Positive) = P(Pos|Sick)P(Sick) + P(Pos|Healthy)P(Healthy)$
18.6 辛普森悖論
辛普森悖論是指在分組比較中都佔優勢的一方，在總評中有時反而處於劣勢。
例子：
兩種療法 A 和 B。在輕症和重症患者中，療法 A 的治癒率都更高。但如果合併數據看，療法 B 的總治癒率卻更高。
原因：療法 A 更多被用於難治癒的重症患者，拉低了總體平均值。
兩種療法 A 和 B。在輕症和重症患者中，療法 A 的治癒率都更高。但如果合併數據看，療法 B 的總治癒率卻更高。
原因：療法 A 更多被用於難治癒的重症患者，拉低了總體平均值。
🧪 互動：Monty Hall 真實遊戲（含長期統計）
親自玩幾局，感受「換門」和「不換」的實際勝率差距。玩越多局，越能看出統計規律。
教材來源：Mathematics for Computer Science (Lehman, Leighton, Meyer)