第十九章：隨機變數
隨機變數是將隨機實驗的結果映射到數值的函數。它是量化隨機性的核心工具。
19.1 隨機變數範例
隨機變數：
定義在樣本空間上的實數值函數。通常用大寫字母（如 $X, Y$）表示。
定義在樣本空間上的實數值函數。通常用大寫字母（如 $X, Y$）表示。
例如：擲兩顆骰子，$X$ 為點數之和。樣本空間有 36 種結果，但 $X$ 的值域為 $\{2, 3, ..., 12\}$。
19.4 期望值
期望值 是隨機變數在大量重複實驗中取值的平均趨勢。
定義：
$E[X] = \sum_{\omega \in S} X(\omega) Pr(\omega)$
$E[X] = \sum_{\omega \in S} X(\omega) Pr(\omega)$
19.5 期望值的線性性質
這是期望值最強大的性質：
線性性質：
對於任意隨機變數 $X$ 和 $Y$，以及常數 $a, b$：
$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$
對於任意隨機變數 $X$ 和 $Y$，以及常數 $a, b$：
$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$
注意：這個性質不需要 $X$ 和 $Y$ 獨立！這使得它在處理複雜問題時非常有用。
🧪 經典應用：帽查驗問題
問題描述：餐廳衣帽間有 $n$ 位客人。服務生將所有人的帽子隨機打亂後發回。
問：平均有多少位客人拿回自己的帽子？
理論期望值
1
$\sum_{i=1}^n \frac{1}{n} = 1$
模擬總次數
0
模擬平均值
0.00
上次匹配數
0
視覺化 (最近一次模擬)
平均值收斂圖
E[X] = 1
原理：定義指示器變數 $I_k$，若第 $k$ 個人拿到自己的帽子則為 1，否則為 0。
總數 $X = I_1 + I_2 + ... + I_n$。
根據線性性質：$E[X] = E[I_1] + ... + E[I_n] = n \times \frac{1}{n} = 1$。
驚人的結論：無論有多少人，平均只有 1 個人拿對帽子！
教材來源：Mathematics for Computer Science (Lehman, Leighton, Meyer)