第二十章：偏差與均值
隨機變數的期望值告訴我們中心位置，而變異數則衡量數據偏離中心的程度。本章介紹的兩個不等式使我們能在不知道具體分佈的情況下，對機率進行估計。
20.1 馬可夫不等式
馬可夫不等式提供了一個非負隨機變數 $X$ 超過某值的機率上限。
馬可夫不等式：
對於非負隨機變數 $X$ 和常數 $c > 0$：
$P(X \ge c) \le \frac{E[X]}{c}$
對於非負隨機變數 $X$ 和常數 $c > 0$：
$P(X \ge c) \le \frac{E[X]}{c}$
🧪 互動計算器
機率上限 P(X ≥ c) ≤ 0.67
例如：若平均薪資為 10 萬元，則薪資超過 15 萬元的人數比例不會超過 2/3。
20.2 切比雪夫不等式
切比雪夫不等式利用變異數來描述數據偏離平均值的程度，適用於任何分佈。
切比雪夫不等式：
對於隨機變數 $X$，設期望值為 $\mu$，標準差為 $\sigma$，對於任意 $k > 0$：
$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$
對於隨機變數 $X$，設期望值為 $\mu$，標準差為 $\sigma$，對於任意 $k > 0$：
$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$
🎮 視覺化模擬
調整下方的滑桿來改變標準差倍數 $k$。觀察「切比雪夫界限」與「實際機率」的差距。
切比雪夫下限 (保證值)
至少 75.0% 在區間內
公式: $1 - 1/k^2$
實際常態分佈
約 95.4% 在區間內
(假設為常態分佈)
💡 提示：切比雪夫不等式適用於所有分佈，因此界限非常寬鬆。對於常態分佈，實際覆蓋率遠高於此。
20.3 變異數的性質
變異數 $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ 衡量數據的離散程度。
- 線性變換： $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$。
- 獨立和： 若 $X, Y$ 獨立，則 $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$。
- 標準差： $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$。
🧪 互動：Chebyshev 不等式視覺化
拖拉 k 值，即時觀察：偏離均值超過 kσ 的機率上界 1/k²，以及與常態分布實際值的比較。
教材來源：Mathematics for Computer Science (Lehman, Leighton, Meyer)