第十九章：隨機變數 — 動畫敘事
第十九集 · Ch.19 隨機變數
隨機的數字
投一枚硬幣，正面得 1 分，反面得 0 分。
這個「得分」就是一個隨機變數——
它的值取決於隨機結果，
但我們可以計算它的期望值。
這個「得分」就是一個隨機變數——
它的值取決於隨機結果，
但我們可以計算它的期望值。
隨機變數與期望值
定義
隨機變數 X：從樣本空間 Ω 到實數的函數 X: Ω → ℝ
期望值（Expected Value）：
直覺：重複很多次後，X 的平均值趨近於 E[X]。
線性期望值：
期望值（Expected Value）：
E[X] = Σ x · Pr(X=x)直覺：重複很多次後，X 的平均值趨近於 E[X]。
線性期望值：
E[X+Y] = E[X] + E[Y]（永遠成立！）
互動：投硬幣模擬
按「模擬」開始投硬幣
期望值的線性性質
E[X+Y] = E[X]+E[Y]，即使 X 和 Y 不獨立也成立！這讓很多複雜問題變簡單。
例1
擲 100 次骰子，點數總和的期望值？
每次期望值 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
100 次總和期望值 = 100 × 3.5 = 350（線性性質直接加）
每次期望值 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
100 次總和期望值 = 100 × 3.5 = 350（線性性質直接加）
例2
亂序 n 張牌，平均幾張在原位？（期望值）
設 Xᵢ = 第 i 張在原位（0 或 1），E[Xᵢ] = 1/n
總在原位數 = X₁+…+Xₙ，期望值 = n × (1/n) = 1
（與 n 無關！這是個驚人的結果）
設 Xᵢ = 第 i 張在原位（0 或 1），E[Xᵢ] = 1/n
總在原位數 = X₁+…+Xₙ，期望值 = n × (1/n) = 1
（與 n 無關！這是個驚人的結果）
常見分布
伯努利分布
Bernoulli(p)
一次試驗，成功機率 p
E[X] = p
例：投硬幣、成功/失敗
E[X] = p
例：投硬幣、成功/失敗
二項分布
Binomial(n,p)
n 次獨立試驗成功次數
E[X] = np
例：n 次投硬幣正面次數
E[X] = np
例：n 次投硬幣正面次數
幾何分布
Geometric(p)
首次成功所需試驗次數
E[X] = 1/p
例：第一次擲到 6 點
E[X] = 1/p
例：第一次擲到 6 點
觀念測驗
擲一顆公平骰子，若出現奇數得 +2 分，偶數得 -1 分，期望得分是多少？
小結
期望值的
線性魔法
線性魔法
期望值的線性性質讓我們可以拆解複雜問題。
只要定義好正確的指示器隨機變數，
很多看起來很難的期望值計算，
都能化成簡單的加法。
只要定義好正確的指示器隨機變數，
很多看起來很難的期望值計算，
都能化成簡單的加法。
下一集：偏差與均值——Markov 和 Chebyshev 不等式
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教材來源：Mathematics for Computer Science (Lehman, Leighton, Meyer)